Question

设函数f（x）=

ax-1

x+1

，其中a∈R
（1）解不等式f（x）≤-1； 
（2）求a的取值范围，使f（x）在区间（0，+∞）上是单调减函数．

Answer 1

考点：函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）不等式f（x）≤-1，即

(a+1)x

x+1

≤0，再分当a＜-1时、当a=-1时、当a＞-1三种情况，分别求得不等式解集．
（2）在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，化简f（x₁）-f（x₂）为

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，显然只有当a+1＜0时，才有 

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＞0，函数f（x）在（0，+∞）上是减函数，由此求得a的范围．

解答： 解：（1）不等式f（x）≤-1 即为

ax-1

x+1

≤-1，即

(a+1)x

x+1

≤0．
当a＜-1时，不等式解集为（-∞，-1）∪[0，+∞）；
当a=-1时，不等式解集为（-∞，-1）∪（-1，+∞）；
当a＞-1时，不等式解集为（-1，0]．
（2）在（0，+∞）上任取x₁＜x₂，
则 f（x₁）-f（x₂）=

ax1-1

x1+1

-

ax2-1

x2+1

 
=

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

．
由题设可得，x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0，
∴当a+1＜0，即a＜-1时，

(a+1)(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＞0，f（x₁）-f（x₂）＞0，
函数f（x）在（0，+∞）上是减函数．

点评：本题主要考查分式不等式的解法，函数的单调性的判断和证明，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．