Question

在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=AC=1，∠BAC=90°，且异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，设AA₁=a．
（1）求a的值；
（2）设D是B₁C₁上的任意一点，求D到平面A₁BC的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由题设条件推导出∠A₁BC=60°，从而得到△A₁BC为等边三角形，由此能求出a．
（2）由题设条件推推导出点D到平面A₁BC的距离等于点B₁到平面A₁BC的距离．由此利用等积法能求出D到平面A₁BC的距离．

解答： （本题满分12分） 本题共有2个小题，第1小题满分（6分），第2小题满分（6分）．
（1）解：∵BC∥B₁C₁，
∴∠A₁BC就是异面直线A₁B与B₁C₁所成的角，
∵异面直线A₁B与B₁C₁所成的角等于60°，∴∠A₁BC=60°，
又连接A₁C，AB=AC，则A₁B=A₁C，
∴△A₁BC为等边三角形，
由AB=AC=1，∠BAC=90°，∴BC=

2

，
∴A1B=

2

，∴

1+a2

=

2

，解得a=1或a=-1（舍）．
∴a=1．
（2）直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，
∵B₁C₁∥BC，B₁C₁在平面A₁BC外，BC?平面A₁BC，
∴B₁C₁∥平面A₁BC，又∵D是B₁C₁上的任意一点，
所以点D到平面A₁BC的距离等于点B₁到平面A₁BC的距离．
设其为d，连接B₁C，
则由三棱锥B₁-A₁BC的体积等于三棱锥C-A₁B₁B的体积，求d，
△A₁B₁B的面积S=

1

2

，△A₁BC的面积S′=

3

4

•(

2

)2=

3

2

，
∴

1

3

•S•AC=

1

3

•S′•d，解得d=

3

3

，
即D到平面A₁BC的距离等于

3

3

．

点评：本题考查线段长的求法，考查点到直线的距离的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．