Question

以下所给的命题中：
①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
②垂直于同一直线的两条直线相互平行；
③向量

a

=（1，2）按

b

=（1，1）平移得

c

=（2，3）；
④双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点．
⑤曲线x³-y³+9x²y+9xy²=0关于原点对称．
其中真命题的序号为

 

．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，利用双曲线定义可知：只有当k＜|AB|时，动点P的轨迹为双曲线；
②垂直于同一直线的两条直线可能相互平行、相交或为异面直线；
③向量

a

=（1，2）按

b

=（1，1）平移得到的仍然是向量

a

；
④双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点(±

34

，0)；
⑤把（-x，-y）代入曲线x³-y³+9x²y+9xy²=0得到曲线的方程没有变化，可得：此曲线的图象关于原点对称．

解答： 解：①设A、B为两个定点，k为非零常数，|

PA

|-|

PB

|=k，只有当k＜|AB|时，动点P的轨迹为双曲线，因此不正确；
②垂直于同一直线的两条直线相互平行、相交或为异面直线，因此不正确；
③向量

a

=（1，2）按

b

=（1，1）平移得到的仍然是向量

a

，而不是

c

=（2，3），因此不正确；
④双曲线

x2

25

-

y2

9

=1与椭圆

x2

35

+y2=1有相同的焦点(±

34

，0)，正确；
⑤把（-x，-y）代入曲线x³-y³+9x²y+9xy²=0得到-x³+y³-9x²y-9xy²=0，化为x³-y³+9x²y+9xy²=0，因此曲线的方程没有变化，可得：此曲线的图象关于原点对称．因此正确．
综上可知：只有④⑤正确．
故答案为：④⑤．

点评：本题综合考查了圆锥曲线的定义标准方程及其性质、空间中线线位置关系、曲线的对称性等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力，属于难题．