Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率为

3

2

，过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为1，过点M（3，0）的直线与椭圆C相交于两点A，B．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设P为椭圆上一点，且满足

OA

+

OB

=t

OP

（O为坐标原点），当|AB|=

3

时，求实数t的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,平面向量及应用,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用离心率求得a和c关系，进而利用椭圆方程中a，b和c的关系求得a和b的关系，最后利用过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长求得b，则a可求，椭圆的方程可求．
（2）设出A、B、P的坐标和AB的直线方程，与椭圆的方程联立消去y，利用判别式大于0求得k的范围，利用韦达定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，利用

OA

+

OB

=t

OP

求得k和t的关系，把点P坐标代入椭圆的方程，利用|AB|=

3

求得k的值，进而利用k和t的关系求得t的值．

解答： 解：（1）由已知e=

c

a

=

3

2

，所以

c2

a2

=

3

4

，
所以a²=4b²，c²=3b²
所以

x2

4b2

+

y2

b2

=1，
又由过焦点且垂直于长轴的直线被椭圆截得的弦长为

2b2

a

=1，
所以b=1，
所以椭圆C的方程为

x2

4

+y2=1；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（x，y）
设AB：y=k（x-3）与椭圆联立得

y=k(x-3) x2 4 +y2=1

整理得（1+4k²）x²-24k²x+36k²-4=0
其中△=24²k⁴-16（9k²-1）（1+4k²）＞0得k2＜

1

5

，
x1+x2=

24k2

1+4k2

，x1•x2=

36k2-4

1+4k2

由|AB|=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

3

得

1+k2 16(1-5k2)

1+4k2

=

3

即128k⁴+88k²-13=0，
所以k2=

1

8

或k2=-

13

16

（舍）
又因为

OA

+

OB

=(x1+x2，y1+y2)=t(x，y)，
所以x=

1

t

(x1+x2)=

24k2

t(1+4k2)

，
y=

1

t

(y1+y2)=

1

t

[k(x1+x2)-6k]=

-6k

t(1+4k2)

，
由点P在椭圆上得

(24k2)2

t2(1+4k2)2

+

144k2

t2(1+4k2)2

=4，
即36k²=t²（1+4k²），
即t2=

36k2

1+4k2

=9-

9

1+4k2

=3，
所以t=±

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程，考查了椭圆的简单几何性质，主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．解题的过程一般是把直线与圆锥曲线的方程联立，利用韦达定理和判别式来作为解题的关键．