Question

如图，正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为1，E是AB的中点，P是B₁C的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面B₁ED；
（Ⅱ）求点P到平面B₁ED的距离．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）取B₁D的中点O，连接OE，OP，由题设条件推导出OP∥CD，BE∥CD，从而得到PB∥OE，由此能够证明PB∥平面B₁ED．
（Ⅱ）由题设条点P到平面B₁ED的距离等于点B到平面B₁ED的距离，由此利用等积法能求出点P到平面B₁ED的距离．

解答： （Ⅰ）证明：取B₁D的中点O，连接OE，OP，
在△B₁CD中，P是B₁C的中点，O是B₁D的中点，
∴OP∥CD，且OP=

1

2

CD，
正方形ABCD中，E是AB的中点，
∴BE∥CD，且BE=

1

2

CD，
∴OP∥BE且OP=BE，∴PB∥OE，
又PB?平面B₁ED，OE?平面B₁ED
∴PB∥平面B₁ED．…（6分）
（Ⅱ）解：∵PB∥平面B₁ED，
∴点P到平面B₁ED的距离等于点B到平面B₁ED的距离，设其为h，
∵S△BED=

1

2

BE•AD=

1

4

，
VB1-BED=

1

3

S△BED•B1B=

1

12

在△B₁ED中，B1E=DE=

5

2

，B1D=

3

在△EOD中，可得EO=

DE2-DO2

=

2

2

，
∴S△B1ED=

1

2

B1D•EO=

6

4

VB-B1ED=

1

3

S△B1ED•h=

6

12

h，
由VB-B1ED=VB1-BED得，

6

12

h=

1

12

，∴h=

6

6

∴点P到平面B₁ED的距离等于

6

6

．…（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到直线的距离的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，要注意等积法的合理运用．