Question

已知函数f（x）=2^x且f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，则
（1）g（x）=

 

．
（2）实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数奇偶性的性质建立方程组即可求出g（x）的表达式．
（2）根据指数函数的性质，利用换元法将不等式恒成立转化为参数恒成立问题，利用基本不等式的性质即可得到结论．

解答： 解：（1）∵f（x）=g（x）+h（x），其中g（x）为奇函数，h（x）为偶函数，
∴f（-x）=g（-x）+h（-x）=-g（x）+h（x），
两式联立得g(x)=

f(x)-f(-x)

2

=

2x-2-x

2

．
（2）若不等式2a•g（x）+h（2x）≥0对任意x∈[1，2]恒成立，
即a(2x-2-x)+

22x+2-2x

2

≥0恒成立，
令t=2^x-2^-x，
则t∈[

3

2

，

15

4

]，
则2^2x+2^-2x=（2^x-2^-x）²+2=t²+2，
即2at+t²+2≥0在t∈[

3

2

，

15

4

]上恒成立，
即a≥-

1

2

(t+

2

t

)恒成立，
∵y=t+

2

t

在t∈[

3

2

，

15

4

]上单调递增，
∴当t=

3

2

时，t+

2

t

取得最小值为

17

6

，
∴-

1

2

(t+

2

t

)的最大值为-

17

12

，
∴a≥-

17

12

．
故答案为：（1）

2x-2-x

2

，（2）a≥-

17

12

．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立进行转化，利用参数分离法是解决本题的关键．