Question

设x，y满足

2x+y-4≥0 x-y+1≥0 x-ay-2≤0

时，若目标函数z=x+y既有最大值也有最小值，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：简单线性规划

专题：不等式的解法及应用

分析：画出约束条件表示的可行域，利用z=x+y既有最大值也有最小值，利用直线的斜率求出a的范围．

解答： 解：先作出

x-y+1≥0 2x+y-4≥0

的平面区域如下图所示：
而x-ay-2≤0表示直线x-ay-2=0左侧的平面区域，
∵直线x-ay-2=0恒过（2，0）点，
当a=0时，可行域是三角形，z=x+y既有最大值也有最小值，
满足题意；
当直线x-ay=2的斜率k=

1

a

满足：

1

a

＞1或

1

a

＜-2，
即-

1

2

＜a＜0或0＜a＜1时，可行域是封闭的，z=x+y既有最大值也有最小值，
综上所述实数a的取值范围是：-

1

2

＜a＜1．
故答案为：(-

1

2

，1)

点评：本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划问题的基本方法．