Question

设正实数x，y，z满足x+y+z=4，xy+yz+zx=5，则y的最大值为

 

．

Answer 1

考点：基本不等式

专题：不等式的解法及应用

分析：把x，z看成是一元二次方程的两个实数根，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式得到y的取值范围，求出y的最大值．

解答： 解：∵x+y+z=4，
∴x+z=4-y，①
∵xy+yz+zx=5，
∴xz=5-（yz+xy）=5-y（x+z）=5-y（4-y），
即xz=5-4y+y²，②
由①②及韦达定理知：x，z是一元二次方程t²+（4-y）t+（5-4y+y²）=0的两实根，
则判别式△=（4-y）²-4（5-4y+y²）≥0，
化简得：3y²-8y+4≤0，
∴

2

3

≤y≤2，
∴y的最大值是2．

点评：本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系列出一元二次方程，然后由判别式求出y的取值范围，确定y的最大值．