Question

在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC=2AD=4，AB=CD=

10

．
（Ⅰ）证明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若二面角A-PC-D的大小为45°，求AP的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（Ⅰ）设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E，由已知条件推导出AC⊥BD，PA⊥BD，由此能够证明BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）作OH⊥PC于点H，连接DH，由已知条件推导出∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，从而得到∠DHO=45°，由此能求出AP的长．

解答： （Ⅰ）证明：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E，
由四边形ABCD是等腰梯形，
得CE=

BC-AD

2

=1，DE=

DC2-CE2

=3，
∴BE=DE，∴∠DBC=∠BCA=45°，
∴∠BOC=90°，∴AC⊥BD，
由PA⊥平面ABCD，得PA⊥BD，
又∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC．
（Ⅱ）解：作OH⊥PC于点H，连接DH，
由（Ⅰ）知DO⊥平面PAC，∴DO⊥PC，
∴PC⊥平面DOH，从而得到PC⊥OH，PC⊥DH，
∴∠DHO是二面角A-PC-D的平面角，
∵二面角A-PC-D的大小为45°，
∴∠DHO=45°，
由∠DBC=∠BCA=45°，BC=4，得OC=2

2

，
同理，得OA=

2

，∴AC=3

2

，
设PA=x，则PC=

x2+18

，
在Rt△DOH中，由DO=

2

，得OH=

2

，
在Rt△PAC中，由

PA

PC

=

OH

OC

，得

x

x2+18

=

2

2 2

，
解得x=

6

，即AP=

6

．

点评：本题考查直线与平央垂直的证明，考查线段长的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，注意合理地化空间问题为平面问题．