Question

在数列{a_n}中，a₁=2，a₂=12，a₃=54，数列{a_n+1-3a_n}是等比数列．
（1）求证：数列{

an

3n-1

}是等差数列；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等差关系的确定

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件推导出a_n+1-3a_n=2×3ⁿ，从而得到an+1=3an+2×3n，由此能够证明数列{

an

3n-1

}是等差数列．
（2）由（1）推导出=a_n=2n•3^n-1，由此利用错位相减法能求出数列{a_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵数列{a_n+1-3a_n}是等比数列，a₁=2，a₂=12，a₃=54，
∴公比q=

a3-3a2

a2-3a1

=

54-36

12-6

=3，
∴a_n+1-3a_n=（a₂-3a₁）•3^n-1
=6×3^n-1
=2×3ⁿ，
∴an+1=3an+2×3n，
∴

an+1

3n

-

an

3n-1

=

2×3n

3n

=2，
∴数列{

an

3n-1

}是等差数列．
（2）∵

an+1

3n

-

an

3n-1

=

2×3n

3n

=2，
∴d=2，

an

3n-1

=

a1

30

+(n-1)d=2+2n-2=2n，
∴a_n=2n•3^n-1，
∴S_n=2×3⁰+2•2×3+2•3×3²+…+2n×3^n-1，①
3S_n=2×3+2•2×3²+2•3×3³+…+2n×3ⁿ，②
①-②，得：-2S_n=2（1+3+3²+3³+…+3^n-1）-2n×3ⁿ
=2×

1-3n

1-3

-2n•3ⁿ
=（1-2n）•3ⁿ-1，
∴S_n=（n-

1

2

）•3ⁿ+

1

2

．

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列前n项和的求法，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．