Question

已知数列{a_n}是各项均为正数的等比数列，且a₁=1，又a₂+1，S₃-4，a₃-1成等差数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列（a_n+log₂a_n+1）的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由已知条件，利用等比数列的通项公式和前n项和公式及等差数列的性质，求出公比，由此能求出数列{a_n}的通项公式．
（2）由（1）知a_n+log₂a_n+1=2^n-1+n，由此利用分组求和法能求出数列{an+lo

g

2

an+1}的前n项和．

解答： 解：（1）设等比数列{a_n}的公比为q（q＞0），
∵a₁=1，a₂+1，S₃-4，a₃-1成等差数列，
∴2（S₃-4）=a₂+a₃，
∴2（a₂+a₃-3）=a₂+a₃，
∴q²+q-6=0，
解得q=2，或q=-3（舍）
∴数列{a_n}的通项公式为an=2n-1．
（2）∵a_n+log₂a_n+1=2^n-1+log22n=2^n-1+n，
∴数列{an+lo

g

2

an+1}的前n项和：
T_n=（1+2+2²+…+2^n-1）+（1+2+3+…+n）
=

1-2n

1-2

+

n(n+1)

2

=2ⁿ-1+

n(n+1)

2

．

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和的求法，是中档题，解题时要注意分组求和法的合理运用．