Question

如图，已知四边形ABCD和BCEG均为直角梯形，AD∥BC，CE∥BG，且∠BCD=∠BCE=

π

2

，平面ABCD⊥平面BCEG，BC=CD=CE=2AD=2BG=2．
（Ⅰ）求证：AG∥平面BDE；
（Ⅱ）求：二面角G-DE-B的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由题设条件推导出EC⊥平面ABCD，EC⊥CD，根据题意建立空间直角坐标系，利用向量法能证明AG∥平面BDE．
（Ⅱ）由（1）知

EG

=(0，2，-1)，求出平面EDG的法向量和平面EDG的一个法向量及平面BDE的一个法向量，由此能求出二面角G-DE-B的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：∵平面ABCD⊥平面BCEG，平面ABCD∩平面BCEG=BC，
∴CE⊥BC，CE?平面BCEG，∴EC⊥平面ABCD，
∵平面ABCD⊥平面BCEG，∠BCD=∠BCE=

π

2

，∴EC⊥CD，．…（2分）
根据题意建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意知：B（0，2，0），D（2，0，0），E（0，0，2），
A（2，1，0）G（0，2，1）…．（3分）
设平面BDE的法向量为

m

=(x，y，z)，
∵

EB

=(0，2，-2)，

ED

=(2，0，-2)，
∴

EB

•

m

=0

ED

•

m

=0，

y-z=0 x-z=0

，
∴x=y=z，∴平面BDE的一个法向量为

m

=(1， 1 ，1)…..（5分）
∵

AG

=(-2， 1， 1)，∴

AG

•

m

=-2+1+1=0，
∴

AG

⊥

m

，
∵AG?平面BDE，∴AG∥平面BDE．…．（7分）
（Ⅱ）由（1）知

EG

=(0，2，-1)，
设平面EDG的法向量为

n

=(x，y，z)，则

EG • n =0 ED • n =0

，
即

2y-z=0 2x-2z=0

，∴平面EDG的一个法向量为

n

=(1， 

1

2

， 1)…..（9分）
又平面BDE的一个法向量为

m

=(1， 1 ，1)，
设二面角G-DE-B的大小为α，
则cosα=

1+ 1 2 +1

3 • 1+ 1 4 +1

=

5 3

9

，
∴二面角G-DE-B的余弦值为

5 3

9

．…..（12分）

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．