Question

在数列{a_n}中，a1=a＞0，an+1=an-

1

an

，若a₃＞0，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：由首项和数列递推式求出a₃，再由a₃＞0分类求解实数a的取值范围．

解答： 解：∵a₁=a＞0，an+1=an-

1

an

，
∴a2=a-

1

a

，a3=a2-

1

a2

=a-

1

a

-

1

a- 1 a

，
∵a₃＞0，
∴当a-

1

a

＞0，即a＞1时，则a-

1

a

＞1，即a²-a-1＞0，解得：a＞

5 +1

2

；
当a-

1

a

＜0，即0＜a＜1时，则a-

1

a

＞-1，即a²+a-1＞0，解得：

5 -1

2

＜a＜1．
综上，实数a的取值范围是：(

5 -1

2

，1)∪(

5 +1

2

，+∞)．
故答案为：(

5 -1

2

，1)∪(

5 +1

2

，+∞)．

点评：本题考查数列递推式，考查了不等式的解法，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．