Question

设△ABC是边长为1的正三角形，点P₁，P₂，P₃四等分线段BC（如图所示）．
（Ⅰ）求

AB

•

AP1

+

AP1

•

AP2

的值；
（Ⅱ）设动点P在边BC上，
   （i）请写出一个

|BP|

的值使

PA

•

PC

＞0，并说明理由；
   （ii）当

PA

•

PC

取得最小值时，求cos∠PAB的值．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）

AB

•

AP1

+

AP1

•

AP2

=

AP1

•（

AB

+

AP2

）=2

AP1

2，由余弦定理求得

AP1

2，从而求得结果．
（Ⅱ）（i）要使

PA

•

PC

＞0，需∠APC为锐角，故点P应在线段BP₂上（不含P₂），可得

|BP|

的值．
（ii）当点P在线段BC上时（不含P₂），

PA

•

PC

＞0；当点P在线段P₂C时，

PA

•

PC

≤0，可得点P一定在线段P₂C上，设|

PC

|=x，则

PA

•

PC

=|

PA

|•|

PC

|cos＜

PA

 ，

PC

＞=x²-

1

2

x，再利用二次函数的性质求得

PA

•

PC

的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）

AB

•

AP1

+

AP1

•

AP2

=

AP1

•（

AB

+

AP2

）=2

AP1

2．
△ABP₁中，由题意利用余弦定理可得AP12=1+

1

16

-2×1×

1

4

×cos60°，
∴2

AP1

2=2（1+

1

16

-2×1×

1

4

×cos60°）=

13

8

，即

AB

•

AP1

+

AP1

•

AP2

=

13

8

．
（Ⅱ）设动点P在边BC上，
（i）要使

PA

•

PC

＞0，需∠APC为锐角，
故点P应在线段BP₂上（不含P₂），故|

BP

|＜

1

2

，即

|BP|

的值为区间[0，

1

2

）内的任意一个值．
（ii）当点P在线段BP₂上时（不含P₂），

PA

•

PC

＞0．
当点P在线段P₂C时，

PA

•

PC

≤0，当

PA

•

PC

取得最小值时，点P一定在线段P₂C上．
设|

PC

|=x，由于AP₂⊥BC，
则

PA

•

PC

=|

PA

|•|

PC

|cos＜

PA

 ，

PC

＞=|

PC

|•（-|

PP2

|）=x（x-

1

2

）=x²-

1

2

x，
故当x=

1

4

时，即P在P₃时，

PA

•

PC

取得最小值，此时，cos∠PAB=

5

26

13

．

点评：本题主要考查两个向量的数量积的运算，二次函数的性质，余弦定理，体现了转化的数学思想，属于中档题．