Question

下表是某市11月10日至23日的空气质量指数统计表，空气质量指数小于100表示空气质量优良，空气质量指数大于200表示空气重度污染．某人随机选择11月10日至11月21日中的某一天到达该市，并停留3天（包括到达的当天）．

日期	10	11	12	13	14	15	16
空气质量指数	85	30	56	153	221	220	150
日期	17	18	19	20	21	22	23
空气质量指数	85	95	150	124	98	210	179

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率；
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,互斥事件的概率加法公式

专题：概率与统计

分析：（ I）设A_i表示事件“此人于11月i日到达该市”（ i=10，11，…，21）．根据题意，P(Ai)=

1

12

，由此能求出此人到达当日空气重度污染的概率．
（ II）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，分别求出其概率，由此能求出X的分布列和数学期望．

解答： （本题满分12分）
解：（ I）设A_i表示事件“此人于11月i日到达该市”（ i=10，11，…，21）．
根据题意，P(Ai)=

1

12

，且A_i∩A_j=∅（i≠j）…（2分）
设B为事件“此人到达当日空气重度污染”，
则B=A₁₂∪A₁₅，
所以P（B）=P（A₁₂∪A₁₅）=

2

12

=

1

6

．…（5分）
（ II）由题意可知，X的所有可能取值为0，1，2，3，
且P(X=0)=P(A13∪A14)=

2

12

，
P(X=1)=P(A12∪A15∪A18∪A19∪A20∪A21)=

6

12

，
P(X=2)=P(A11∪A16∪A17)=

3

12

，
P(X=3)=P(A10)=

1

12

，…（9分）
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	2 12	6 12	3 12	1 12

故X的期望EX=0×

2

12

+1×

6

12

+2×

3

12

+3×

1

12

=

15

12

=

5

4

…（12分）

点评：本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是历年高考的必考题目之一．