Question

在数列{a_n}（n∈N^*）中，其前n项和为S_n，满足2S_n=n-n²．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设b_n=

n•2an，n=2k-1 1 n2+2n ，n=2k

（k为正整数），求数列{b_n}的前2n项和T_2n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由2Sn=n-n2，求出2Sn-1=n-1-(n-1)2(n≥2)，再由a_n=S_n-S_n-1，能求出数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=

n•21-n，n=2k-1 1 n(n+2) ，n=2k

，由此利用分组求和法和裂项求和法能求出数列{b_n}的前2n项和T_2n．

解答： （本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设得：2Sn=n-n2，
∴2Sn-1=n-1-(n-1)2(n≥2)
∴a_n=S_n-S_n-1=1-n（n≥2）…（2分）
当n=1时，a₁=S₁=0，
∴数列{a_n}是a₁=0为首项、公差为-1的等差数列，
∴a_n=1-n．…（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：bn=

n•21-n，n=2k-1 1 n(n+2) ，n=2k

…（6分）
∴T_2n=b₁+b₂+b₃+…+b_2n
=[1•2⁰+3•2^-2+5•2^-4+7•2^-6…+（2n-1）•2^2-2n]
+

1

2

[(

1

2

-

1

4

)+(

1

4

-

1

6

)+(

1

6

-

1

8

)+…+(

1

2n

-

1

2n+2

)]
=[1•20+3•2-2+5•2-4+7•2-6…+(2n-1)•22-2n]+

n

4(n+1)

…（9分）
设T=1+3•2^-2+5•2^-4+7•2^-6+…+（2n-1）•2^2-2n，
则2^-2•T=2^-2+3•2^-4+5•2^-6+7•2^-8+…+（2n-3）•2^2-2n+（2n-1）•2^-2n，
两式相减得：

3

4

•T=1+2(2-2+2-4+2-6+2-8+…+22-2n)-(2n-1)•2-2n
整理得：T=

20

9

-

24n+20

9•22n

…（11分）
∴T2n=

20

9

-

24n+20

9•22n

+

n

4(n+1)

．…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要注意分组求和法和裂项求和法的合理运用．