Question

已知集合Tn={X|X=(x1，x2，…，xn)，xi∈N*，i=1，2，…，n} (n≥2)．对于A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n）∈T_n，定义；

AB

=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)，λ（a₁，a₂，…，a_n）=（λa₁，λa₂，…，λa_n）（λ∈R）；A与B之间的距离为d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|．
（Ⅰ）当n=5时，设A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．若d（A，B）=7，求a₅；
（Ⅱ）证明：若A，B，C∈T_n，且?λ＞0，使

AB

=λ

BC

，则d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）记I=（1，1，…，1）∈T_n．若A，B∈T_n，且d（I，A）=d（I，B）=p，求d（A，B）的最大值．

Answer 1

考点：进行简单的合情推理

专题：综合题,新定义

分析：（Ⅰ）直接利用新定义运算，结合d（A，B）=7，把A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）代入A与B之间的距离d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|，即可求解a₅的值；
（Ⅱ）利用新定义，结合

AB

=λ

BC

，即可怎么d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）由d（I，A）=d（I，B）=P，得到|a₁-1|+|a₂-1|+|a₃-1|+…+|a_n-1|=P，|b₁-1|+|b₂-1|+|b₃-1|+…+|b_n-1|=P．然后把d（A，B）=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+…+|a_n-b_n|，利用绝对值不等式放缩得答案．

解答： （Ⅰ）解：A=（1，2，1，2，a₅），B=（2，4，2，1，3）．
由d(A，B)=

n

i=1

|ai-bi|=7，
得d（A，B）=|1-2|+|2-4|+|1-2|+|2-1|+|a₅-3|=5+|a₅-3|=7．
∴|a₅-3|=2，
解得：a₅=1或a₅=5；
（Ⅱ）证明：设A=（a₁，a₂，…，a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），C=（c₁，c₂，…，c_n）∈T_n
∵

AB

=λ

BC

，
∴

AB

=(b1-a1，b2-a2，…，bn-an)=λ（c₁-b₁，c₂-b₂，…，c_n-b_n），
∵d（A，B）+d（B，C）=

n

i=1

|ai-bi|+

n

i=1

|bi-ci|，d（A，C）=

n

i=

|ai-ci|，
∴d（A，B）+d（B，C）=d（A，C）；
（Ⅲ）解：∵I=（1，1，…，1），A=（a₁，a₂，…a_n），B=（b₁，b₂，…，b_n），
由d（I，A）=d（I，B）=P，
得|a₁-1|+|a₂-1|+|a₃-1|+…+|a_n-1|=P，
|b₁-1|+|b₂-1|+|b₃-1|+…+|b_n-1|=P．
∴d（A，B）=|a₁-b₁|+|a₂-b₂|+|a₃-b₃|+…+|a_n-b_n|
=|（a₁-1）-（b₁-1）|+|（a₂-1）-（b₂-1）|+|（a₃-1）-（b₃-1）|+…+|（a_n-1）-（b_n-1）|
≤|a₁-1|+|b₁-1|+|a₂-1|+|b₂-1|+…+|a_n-1|+|b_n-1|=2P．
∴d（A，B）的最大值为2P．

点评：本题是新定义题，考查了两点间的距离公式，训练了绝对值不等式的应用，解答的关键是对题意的理解，是中档题．