Question

如图，正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，∠ADE=90°，AF∥DE，DE=DA=2AF=2
（1）求证：AC∥平面BEF；
（2）求点D到平面BEF的距离；
（3）求平面BEF与平面ABCD所成的正切值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的判定,与二面角有关的立体几何综合题,点、线、面间的距离计算

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，由已知条件推导出四边形AFGO是平行四边形，由此能够证明AC∥平面BEF．
（2）以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出点D到平面BEF的距离．
（3）分别求出平面ABCD的法向量和平面BEF的法向量，利用向量法能结合三角函数知识能求出平面BEF与平面ABCD所成角的正切值．

解答： （1）证明：设AC∩BD=O，取BE中点G，连接FG，OG，
∴OG∥DE，且OG=

1

2

DE．
∵AF∥DE，DE=2AF，
∴AF∥OG，且OG=AF，
∴四边形AFGO是平行四边形，FG∥OA．
∴FG?平面BEF，AO?平面BEF，
∴AO∥平面BEF，即AC∥平面BEF．…（6分）
（2）解：∵正方形ABCD与直角梯形ADEF所在平面互相垂直，
∠ADE=90°，
∴以D为原点，以DA为x轴，以DC为y轴，以DE为z轴，建立空间直角坐标系，
∵DE=DA=2AF=2，
∴B（2，2，0），E（0，0，2），F（2，0，1），D（0，0，0），
∴

BE

=(-2，-2，2)，

BF

=(0，-2，1)，

BD

=(-2，-2，0)，
设平面BEF的法向量

n

=(x，y，z)，则

n

•

BE

=0，

n

•

BF

=0，
∴

-2x-2y+2z=0 -2y+z=0

，∴

n

=（1，1，2），
∴点D到平面BEF的距离d=

| BD • n |

| n |

=

|-2-2+0|

6

=

2 6

3

．
（3）解：设平面BEF与平面ABCD所成的角为θ
∵平面ABCD的法向量

m

=（0，0，1），
平面BEF的法向量

n

=（1，1，2），
∴cosθ=|cos＜

m

，

n

＞|=|

2

6

|=

6

3

，
∴sinθ=

1-( 6 3 )2

=

3

3

，
∴tanθ=

sinθ

cosθ

=

2

2

．
∴平面BEF与平面ABCD所成角的正切值为

2

2

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查点到平面的距离的求法，考查平面与平面所成角的正切值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．