Question

已知等差数列{a_n}中，a₂=4；a₄是a₂与a₈的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式：
（Ⅱ）若a_n+1≠a_n．求数列{2^n-1a_n}的前n项和．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的通项公式

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）依题意，可求得该等差数列的公差d=0或d=2，分类讨论，即可得到数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）易求a_n=2n，2^n-1a_n=2^n-1•2n=2ⁿ•n，S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，利用错位相减法即可求得S_n．

解答： 解：（Ⅰ）∵a₂=4，a₄是a₂与a₈的等比中项，
∴a₁+d=4，a42=a₂•a₈，
即（4+2d）²=4（4+6d），化简得d²-2d=0，
解得：d=0或d=2；
由于a₂=4，
∴当d=0时，a_n=4，
当d=2时，a₁=2，a_n=2n；
（Ⅱ）∵a_n+1≠a_n，
∴a_n=2n，
∴2^n-1a_n=2^n-1•2n=2ⁿ•n，
∵S_n=1×2¹+2×2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ，①
∴2S_n=1×2²+2×2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，②
①-②得：
-S_n=2¹+2²+…+2^n-1+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=

2(1-2n)

1-2

-n•2ⁿ⁺¹
=（1-n）2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2．

点评：本题考查数列的求和，着重考查等差数列的通项公式与错位相减法求和，考查运算求解能力，属于中档题．