Question

已知椭圆Γ：

x2

4

+y2=1．
（1）椭圆Γ的短轴端点分别为A，B（如图），直线AM，BM分别与椭圆Γ交于E，F两点，其中点（m，

1

2

）满足满足m≠0，且m≠±

3

．
①用m表示点E，F的坐标；
②若△BME面积是△AMF面积的5倍，求m的值；
（2）若圆φ：x²+y²=4．l₁，l₂是过点P（0，-1）的两条互相垂直的直线，其中l₁交圆φ于T、R两点，l₂交椭圆Γ于另一点Q．求△TRQ面积取最大值时直线l₁的方程．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）①求出直线AM、BM的方程，分别与椭圆方程联立，即可用m表示点E，F的坐标；
②若△BME面积是△AMF面积的5倍，利用三角形的面积公式，可得

5|MA|

|ME|

=

|MB|

|MF|

，化简，即可求m的值；
（2）设出两条直线的方程，求出直线l₁：y=kx-1被圆x²+y²=4所截的弦TR的弦长，由x+ky+k=0与椭圆方程联立，求出|TR|，可得三角形的面积，利用基本不等式，即可求得结论．

解答： 解：（1）①因为A（0，1），B（0，-1），M （m，

1

2

），且m≠0，
∴直线AM的斜率为k₁=-

1

2m

，直线BM斜率为k₂=

3

2m

，
∴直线AM的方程为y=-

1

2m

x+1，直线BM的方程为y=

3

2m

x-1，…（2分）
由y=-

1

2m

x+1与椭圆方程联立，得（m²+1）x²-4mx=0，
∴x=0，x=

4m

m2+1

，
∴E（

4m

m2+1

，

m2-1

m2+1

）                               …（4分）
由y=

3

2m

x-1与椭圆方程联立，得（m²+9）x²-12mx=0，
∴x=0，x=

12m

m2+9

∴F（

12m

m2+9

，

9-m2

m2+9

）；                                …（5分）
②∵△BME面积是△AMF面积的5倍，∠AMF=∠BME，
∴5|MA||MF|=|MB||ME|，
∴

5|MA|

|ME|

=

|MB|

|MF|

，…（7分）
∴

5m

4m m2+1 -m

=

m

12m 9+m2 -m

（m≠0），
∴整理方程得

1

m2+1

=

15

m2+9

-1，即（m²-3）（m²-1）=0，
又有m≠±

3

，∴m=±1为所求．…（10分）
（2）∵直线l₁⊥l₂，且都过点P（0，-1），∴设直线l₁：y=kx-1，即kx-y-1=0，
直线l₂：y=-

1

k

x-1，即x+ky+k=0，…（12分）
∴圆心（0，0）到直线l₁：y=kx-1的距离为d=

1

1+k2

，
∴直线l₁：y=kx-1被圆x²+y²=4所截的弦TR=2

4-d2

=

2 3+4k2

1+k2

；
由x+ky+k=0与椭圆方程联立，可得（k²+4）x²+8kx=0，
∴x_Q+x_P=-

8k

k2+4

，
∴|QP|=

8 k2+1

k2+4

         …（15分）
∴S_△TQR=

1

2

|QP||TR|=

8 4k2+3

k2+4

=

32

4k2+3 + 13 4k2 +3

≤

16

13

13

当

4k2+3

=

13

4k2+3

，即k=±

10

2

时等号成立，
此时直线l₁：y=±

10

2

x-1．                                 …（18分）

点评：本题考查直线与椭圆的位置关系，考查直线与圆的位置关系，考查三角形面积的计算，考查韦达定理的运用，属于中档题．