Question

已知F₁，F₂分别是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的左、右焦点，过F₁的直线l与双曲线的左、右两支分别交于A、B两点．若△ABF₂是等边三角形，则该双曲线的离心率为（　　）

• A、2
• B、

  7

• C、

  13

• D、

  15

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：根据双曲线的定义算出△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，由△ABF₂是等边三角形得∠F₁AF₂=120°，利用余弦定理算出c=

7

a，结合双曲线离心率公式即可算出双曲线C的离心率．

解答： 解：根据双曲线的定义，可得|BF₁|-|BF₂|=2a，
∵△ABF₂是等边三角形，即|BF₂|=|AB|
∴|BF₁|-|BF₂|=2a，即|BF₁|-|AB|=|AF₁|=2a
又∵|AF₂|-|AF₁|=2a，
∴|AF₂|=|AF₁|+2a=4a，
∵△AF₁F₂中，|AF₁|=2a，|AF₂|=4a，∠F₁AF₂=120°
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²-2|AF₁|•|AF₂|cos120°
即4c²=4a²+16a²-2×2a×4a×（-

1

2

）=28a²，解之得c=

7

a，
由此可得双曲线C的离心率e=

c

a

=

7

．
故选：B．

点评：本题给出经过双曲线左焦点的直线被双曲线截得弦AB与右焦点构成等边三角形，求双曲线的离心率，着重考查了双曲线的定义和简单几何性质等知识，属于中档题．