Question

如图，△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD⊥平面BCD，AB⊥平面BCD，且AB=2

3

．
（1）求证：AB∥平面CDM；
（2）求平面ACM与平面BCD所成二面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）取CD的中点O，连结MO，由已知条件推导出MO∥AB，由此能够证明AB∥平面CDM．
（2）以O为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ACM与平面BCD所成二面角的余弦值．

解答： （1）证明：取CD的中点O，连结MO，
∵△CDM是正三角形，∴MO⊥CD，
∵AB⊥平面BCD，∴MO∥AB，
∵AB在平面CDM外，MO?平面CDM，
∴AB∥平面CDM．（6分）．
（2）解：如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，
由题意知C（0，1，0），D（0，-1，0），M（0，0，

3

），
B（

3

，0，0），A（

3

，0，2

3

），
∴

MC

=(0，1，-

3

)，

MA

=(

3

，0，

3

)，
设平面ACM的一个法向量为

n1

=(x，y，z)，
则

n1

•

MC

=0，

n1

•

MA

=0，（8分）
∴

y- 3 z=0 3 x+ 3 z=0

，∴

n1

=(-1，

3

，1)，（9分）
∵平面BCD的法向量

n2

=（0，0，1），
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

1× 5

=

5

5

，
∴平面ACM与平面BCD所成二面角的余弦值为

5

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．