Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，AB∥CD，△PAB和△PAD是两个边长为2的正三角形．DC=4，PD⊥PB，点E在线段CD上．
（Ⅰ）当

DE

EC

为何值时，AE⊥面PBD：
（Ⅱ）求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

Answer 1

考点：直线与平面所成的角,直线与平面垂直的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）当

DE

EC

=1时，AE⊥面PBD．当

DE

EC

=1时，E为CD的中点，以此为条件，利用线面垂直的判定定理，即可得出结论；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面PDC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求出求直线CB与平面PDC所成角的正弦值．

解答： 解：（Ⅰ）当

DE

EC

=1时，AE⊥面PBD．证明如下：
当

DE

EC

=1时，E为CD的中点．
∵PD⊥PB，PB=PD=2，
∴BD=2

2

，
∵AB=AD=2，
∴AB²+AD²=BD²，
∴AB⊥AD，
∴四边形DEBA是正方形，
∴AE⊥BD，
∵PA=PB=PD=2，
∴P在底面ABCD内的射影O是△ABD的外心，
∵AB⊥AD，
∴O为BD的中点，
∴PO⊥平面ABCD，
∴PO⊥AE，
∵PO∩BD=O，
∴AE⊥面PBD；
（Ⅱ）解：以A为原点，AD为x轴，AB为y轴，过A且与面AC垂直的直线为z轴，建立如图所示的坐标系，则B（0，2，0），C（2，4，0），D（2，0，0），P（1，1，

2

），
∴

DC

=（0，4，0），

DP

=（-1，1，

2

），

BC

=（2，2，0）

设平面PCD的法向量为

n

=（x，y，z），则

4y=0 -x+y+ 2 z=0

，
令z=1，可得

n

=（

2

，0，1），
∴cos＜

n

，

BC

＞=

n • BC

| n || BC |

=

2 2

2+0+1 • 4+4+0

=

3

3

，
∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为

3

3

．

点评：本题考查线面垂直，考查线面角，考查学生分析解决问题的能力，考查向量法的运用，正确求出平面的法向量是关键．