Question

如图，A，B是海平面上的两个小岛，为测量A，B两岛间的距离，测量船以15海里/小时的速度沿既定直线CD航行，在t₁时刻航行到C处，测得∠ACB=75°，∠ACD=120°，1小时后，测量船到达D处，测得∠ADC=30°，∠ADB=45°，求A，B两小岛间的距离．（注：A、B、C、D四点共面）

Answer 1

考点：解三角形的实际应用

专题：综合题,解三角形

分析：在在△ACD中，由正弦定理求出AD，在△BCD中，由正弦定理求出BD，在△ABD中，由余弦定理得AB

解答： 解：由已知得CD=15，∠ACD=120°∠ADC=30°，∴∠CAD=30°，
在△ACD中，由正弦定理得

15

sin30°

=

AD

sin120°

，…（2分）
∴AD=15

3

；…（4分）
∵∠BDC=75°，∠BCD=45°，∴∠CBD=60°，
在△BCD中，由正弦定理得，

15

sin60°

=

BD

sin45°

，…（6分）
∴BD=5

6

；…（8分）
在△ABD中，∠ADB=45°，由余弦定理得AB=

(15 3 )2+(5 6 )2-2•15 3 •5 6 •cos45°

=5

15

…（10分）
故两小岛间的距离为5

15

海里．…（12分）

点评：本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．