Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
（1）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（2）点M在线段PC上，PM=

1

3

PC，若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，求二面角M-BQ-C的大小．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（1）由题设条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．
（2）以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角M-BQ-C的大小．

解答： 解：（1）证明：由题意知：PQ⊥AD，BQ⊥AD，PQ∩BQ=Q，
∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，
∴平面PQB⊥平面PAD．
（2）∵PA=PD=AD，Q为AD的中点，
∴PQ⊥AD，
∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PQ⊥平面ABCD，
以Q这坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立如图所求的空间直角坐标系，
由题意知：Q（0，0，0），A（1，0，0），
P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0）
∴

QM

=

2

3

QP

+

1

3

QC

=（-

2

3

，

3

3

，

2 3

3

），
设

n1

是平面MBQ的一个法向量，则

n1

•

QM

=0，

n1

•

QB

=0，
∴

- 2 3 x+ 3 3 y+ 2 3 3 z=0 3 y=0

，∴

n1

=(

3

，0，1)，
又∵

n2

=(0，0，1)平面BQC的一个法向量，
∴cos＜

n1

，

n2

＞=

1

2

，
∴二面角M-BQ-C的大小是60°．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查二面角的大小的求法，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．