Question

已知函数f（x）=x+

a

x

，g（x）=x²-bx a、b∈R．
（1）若集合{x|f（x）=2x+2}只含有一个元素，试求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，当m∈[2，4]，n∈[1，5]时有f（m）大于等于g（n）恒成立，试求实数b的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）f（x）=2x+2}转化为x²+2x-a=0，利用根的判别式为0，可求若集合{x|f（x）=2x+2}只含有一个元素，实数a的值；
（2）求出f（m）的最小值，问题转化为n²-bn≤

3

2

，n∈[1，5]时恒成立，分离参数求最值，即可求实数b的取值范围．

解答： 解：（1）f（x）=2x+2，即x+

a

x

=2x+2，
∴x²+2x-a=0．
∵集合{x|f（x）=2x+2}只含有一个元素，
∴△=4+4a=0，
∴a=-1；
（2）f（m）=m-

1

m

，∵m∈[2，4]，∴f（m）_min=2-

1

2

=

3

2

，
∵当m∈[2，4]，n∈[1，5]时有f（m）大于等于g（n）恒成立，
∴n²-bn≤

3

2

，n∈[1，5]时恒成立，
∴b≥n-

3

2n

，
∵y=n-

3

2n

，n∈[1，5]时单调递增，
∴b≥1-

3

2

=-

1

2

．

点评：本题考查函数恒成立问题，考查函数的最值，考查分离参数法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．