Question

设函数f(x)=

x+a

，若函数f（x）=2013^x的图象上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，求a的取值范围

 

．

Answer 1

考点：指数函数综合题

专题：函数的性质及应用

分析：由题意可得方程

y0+a

=y0有正实数根，即 y02-y₀-a=0有正实数根．再根据次方程的对称轴为 y₀=

1

2

，可得△=1+4a≥0，由此解得a的范围．

解答： 解：f（y₀）=y₀ 一定是f（f（y₀））=y₀ 的实数根，
由于函数f(x)=

x+a

在其定义域内是增函数，
函数f（x）=2013^x的图象上存在点（x₀，y₀）使得f（f（y₀））=y₀，
即方程

y0+a

=y0有正实数根，
即 y02-y₀-a=0有正实数根．
再根据次方程的对称轴为 y₀=

1

2

，∴△=1+4a≥0，解得 a≥-

1

4

，
故答案为：[-

1

4

，+∞）．

点评：本题主要考查指数函数、二次函数的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．