Question

定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2]时，f(x)=

x2-x，x∈[0，1) -( 1 2 )|x-2|，x∈[1，2]

，若x∈[-2，0]时，f(x)≥

t

2

-

1

t

恒成立，则实数t的取值范围是（　　）

• A、[-2，0）∪（0，1）
• B、[-2，0）∪[1，+∞）
• C、[-2，1]
• D、（-∞，-2]∪（0，1]

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：转化思想

分析：根据条件先求出x∈[-2，0]时f（x）的解析式，再由x∈[-2，0]时，f(x)≥

t

2

-

1

t

恒成立即转化为x∈[-2，0]时，f(x)min≥

t

2

-

1

t

，求出f（x）的最小值，再解含t的不等式即可．

解答： 解：令-2≤x≤0，则0≤x+2≤2，
∵f（x+2）=2f（x），
∴f（x）=

1

2

f(x+2)=

1 2 [(x+2)2-(x+2)]，-2≤x＜-1 - 2-|x| 2 ，-1≤x≤0

=

1 2 (x2+3x+2)，-2≤x＜-1 -2-1-|x|，-1≤x≤0

，
∵x∈[-2，0]时，f(x)≥

t

2

-

1

t

恒成立，
∴x∈[-2，0]时，f(x)min≥

t

2

-

1

t

，
当-2≤x＜-1时，f（x）的最小值为f（-

3

2

）=-

1

8

；
当-1≤x≤0时，f（x）的最小值为f（0）=-

1

2

．
∴x∈[-2，0]时，f（x）的最小值为-

1

2

，
由

t

2

-

1

t

≤-

1

2

，
解得t≤-2或0＜t≤1，
∴实数t的取值范围是（-∞，-2]∪（0，1]，
故选：D．

点评：本题主要考查函数恒成立问题转化为求函数的最值问题，这里要注意分段函数的最值求法，同时考查函数解析式的求法：转移代入法，本题属于中档题．