Question

数列{a_n}中，a1=t，a2=t2，其中t＞0且t≠1，x=

t

是函数f(x)=an-1x3-3[(t+1)an-an+1]x+1(n≥2)的一个极值点．
（Ⅰ）证明：数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）设b_n=a_nlog_ta_n，数列{b_n}的前n项和为S_n，求S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,等比数列的性质

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）求导函数，根据已知f′(

t

)=0，可得a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1），从而可以证明数列{a_n+1-a_n}是等比数列；
（Ⅱ）利用叠加法，可求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅲ）由b_n=a_nlog_ta_n，求出数列{b_n}的通项，利用错位相减法，可求前n项和为S_n．

解答： （Ⅰ）证明：f′(x)=3an-1x2-3[(t+1)an-an+1]，
根据已知f′(

t

)=0，即ta_n-1-（t+1）a_n+a_n+1=0，
即a_n+1-a_n=t（a_n-a_n-1），…（2分）
∵t＞0，t≠1，
∴a2-a1=t2-t=t(t-1)≠0，
∴数列{a_n+1-a_n}是以t（t-1）为首项，t为公比的等比数列．…（4分）
（Ⅱ）解：由于（Ⅰ）可知an+1-an=(t-1)tn．
所以a_n=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=(t-1)tn-1+(t-1)tn-1+…+(t-1)t+t
=(t-1)×

t(1-tn-1)

1-t

+t=tn．
∴数列{a_n}的通项公式an=tn．                …（8分）
（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知an=tn，
∴bn=anlogtan=ntn．…（9分）
∴Sn=1×t+2×t2+3×t3+…+ntn，
则tSn=1×t2+2×t3+…+(n-1)tn+ntn+1，…（10分）
∴(1-t)Sn=t+t2+t3+…+tn-ntn+1=

t(1-tn)

1-t

-ntn+1，…（13分）
∴Sn=

t-tn+1

(1-t)2

-

ntn+1

1-t

．…（14分）

点评：本题考查导数知识的运用，考查等比数列的证明，考查数列的通项与求和，确定数列的通项是关键．