Question

已知椭圆具有如下性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，则k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．试写出双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）具有的类似的性质，并加以证明．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），且

m2

a2

-

n2

b2

=1，又设点P的坐标为（x，y），表示出直线PM和PN的斜率，求得两直线斜率乘积的表达式，把y和x的表达式代入发现结果与p无关．

解答： 解：双曲线的类似的性质为：若M，N是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上的任意一点，当直线PM、PN的斜率都存在，并记为k_PM、k_PN时，k_PM与k_PN之积是与点P位置无关的定值．
下面给出证明：
设点M的坐标为（m，n），则点N的坐标为（-m，-n），且

m2

a2

-

n2

b2

=1．
又设点P的坐标为（x，y），由k_PM=

y-n

x-m

，k_PN=

y+n

x+m

得k_PM•k_PN=

y-n

x-m

•

y+n

x+m

=

y2-n2

x2-m2

，①
将y²=

b2

a2

x²-b²，n²=

b2

a2

m²-b²代入①式，得k_PM•k_PN=

b2

a2

（定值）．

点评：本题主要考查了双曲线的性质，考查了学生综合分析问题和解决问题的能力，正确计算是关键．