Question

如图，已知长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点．将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABCM．
（1）求证：AD⊥BM；
（2）若点E是线段DB上的一动点，问点E在何位置时，二面角E-AM-D的余弦值为

5

5

．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的性质,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）先证明BM⊥AM，再利用平面ADM⊥平面ABCM，证明BM⊥平面ADM，从而可得AD⊥BM；
（2）建立直角坐标系，设

DE

=λ

DB

，求出平面AMD、平面AME的一个法向量，利用向量的夹角公式，结合二面角E-AM-D的余弦值为

5

5

，即可得出结论．

解答： （1）证明：∵长方形ABCD中，AB=2，AD=1，M为DC的中点，
∴AM=BM=

2

，
∴BM⊥AM，
∵平面ADM⊥平面ABCM，平面ADM∩平面ABCM=AM，BM?平面ABCM
∴BM⊥平面ADM
∵AD?平面ADM
∴AD⊥BM；
（2）建立如图所示的直角坐标系，设

DE

=λ

DB

，

则平面AMD的一个法向量

n

=(0，1，0)，

ME

=

MD

+λ

DB

=(

2

2

-

2

2

λ，

2

2

λ，

2

2

-

2

2

λ)，

AM

=(-

2

，0，0)
设平面AME的一个法向量为

m

=(x，y，z)，

2 x=0 2 λy+ 2 2 (1-λ)z=0

取y=1，得x=0，y=1，z=

2λ

1-λ

，所以

m

=(0，1，

2λ

1-λ

)，
因为cos?

m

，

n

＞=

m • n

| m |•|n|

=

5

5

求得λ=

1

2

，所以E为BD的中点．

点评：本题考查线面垂直，考查面面角，正确运用面面垂直的性质，掌握线面垂直的判定方法，正确运用向量法是关键．