Question

如图，直角梯形ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，AB=BC=

1

2

AD．梯形ABCD所在平面外有一点P，满足PA⊥平面ABCD，PA=AB．
（1）求证：平面PCD⊥平面PAC；
（2）侧棱PA上是否存在点E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出E的位置并证明；若不存在请说明理由；
【理】（3）求二面角A-PD-C的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（I）由已知易得，AB，AD，AP两两垂直．分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，分别求出各顶点的坐标，然后求出直线CD的方向向量及平面PAC的法向量，代入向量夹角公式，即可得到答案．
（II）设侧棱PA的中点是E，我们求出直线BE的方向向量及平面PCD的法向量，代入判断及得E点符合题目要求；
（III）求现平面APD的一个法向量及平面PCD的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可求出二面角A-PD-C的余弦值．

解答： 解：∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．
又∵侧面PAD⊥底面ABCD，且侧面PAD∩底面ABCD=AD，
∴PA⊥底面ABCD．
又∵∠BAD=90°，∴AB，AD，AP两两垂直．
分别以AB，AD，AP为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，如图．
设AD=2，则A（0，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，1）．
（Ⅰ）证明：

AP

=（0，0，1），

AC

=（1，1，0），

CD

=（-1，1，0），
∴

AP

•

CD

=0，

AC

•

CD

=0，
∴AP⊥CD，AC⊥CD．
又∵AP∩AC=A，∴CD⊥平面PAC．
∵CD?平面PCD，∴平面PCD⊥平面PAC．（4分）
（Ⅱ）设侧棱PA的中点是E，则E（0，0，

1

2

），
则

BE

=（-1，0，

1

2

）．
设平面PCD的一个法向量是

n

=（x，y，z），则

n • CD =0 n • PD =0

，
∵

CD

=（-1，1，0），

PD

=（0，2，-1），
∴

-x+y=0 2x-z=0

，取x=1，则

n

=（1，1，2）．
∴

n

•

BE

=-1+0+1=0，

n

⊥

BE

，
∵BE?平面PCD，∴BE∥平面PCD．（8分）
（Ⅲ）由已知，AB⊥平面PAD，∴

AB

为平面PAD的一个法向量．
由（Ⅱ）知，

n

=（1，1，2）为平面PCD的一个法向量．
设二面角A-PD-C的大小为θ，由图可知，θ为锐角，
∴cosθ=

n • AB

| n |•| AB |

=

6

6

．
即二面角A-PD-C的余弦值为

6

6

．（13分）

点评：利用空间向量来解决立体几何夹角问题，其步骤是：建立空间直角坐标系⇒明确相关点的坐标⇒明确相关向量的坐标⇒通过空间向量的坐标运算求解．