Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的
中点．
（Ⅰ）若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD；
（Ⅱ）若平面PAD⊥平面ABCD，且PA=PD=AD=2，点M在线段PC上，试
确定点M的位置，使二面角M-BQ-C大小为60°，并求出

PM

PC

的值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面垂直的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（I）由已知条件推导出PQ⊥AD，BQ⊥AD，从而得到AD⊥平面PQB，由此能够证明平面PQB⊥平面PAD．
（ II）以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出结果．

解答： （I）证明：∵PA=PD，Q为AD的中点，∴PQ⊥AD，
又∵底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，∴BQ⊥AD，
又∵PQ∩BQ=Q，∴AD⊥平面PQB，
又∵AD?平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．（6分）
（ II）∵平面PAD⊥平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD=AD，PQ⊥AD，
∴PQ⊥平面ABCD．
以Q为坐标原点，分别以QA，QB，QP为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系如图．
则由题意知：Q（0，0，0），P（0，0，

3

），B（0，

3

，0），C（-2，

3

，0），
设

PM

=λ

PC

（0＜λ＜1），则M(-2λ，

3

λ，

3

(1-λ))，
平面CBQ的一个法向量是

n1

=（0，0，1），
设平面MQB的一个法向量为

n2

=（x，y，z），
则

QM • n2 =-2λx+ 3 λy+ 3 (1-λ)z=0 QB = 3 λy=0

，
取

n2

=(

3-3λ

2λ

，0，

3

)，（9分）
∵二面角M-BQ-C大小为60°，
∴

1

2

=

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

| 3 |

1× ( 3-3λ 2λ )2+3

，
解得λ=

1

3

，此时

PM

PC

=

1

3

．（12分）

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查满足条件的点的位置的确定，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．