Question

已知定义域为R的函数f(x)=

b-2x

2x+a

是奇函数．
（1）求a，b的值；
（2）用定义证明f（x）在R上为减函数；
（3）若对于任意t∈[-2，2]，不等式f（t²-2t）+f（-2t²+k）＜0恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

考点：奇偶性与单调性的综合,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数是R上的奇函数，利用f（0）=0，即可求出a，b的值；
（2）根据函数单调性的定义证明f（x）在R上为减函数；
（3）根据函数单调性和奇偶性的性质，将不等式f（t²-2t）+f（-2t²+k）＜0恒成立进行转化，即可求k的取值范围．

解答： 解：（1）∵定义域为R的函数f(x)=

b-2x

2x+a

是奇函数．
∴f（0）=

b-1

1+a

=0，解得b=1．
由f（-1）=-f（1）得

1-2-1

2-1+a

=-

1-2

2+a

，
解得a=1，
此时f（x）=

1-2x

1+2x

，满足f（-x）=-f（x），
及函数f（x）是奇函数．
（2）用定义证明f（x）在R上为减函数；
∵f（x）=

1-2x

1+2x

=1+

2

1+2x

，
设x₁＜x₂，f（x₁）-f（x₂）=

2

1+2x1

-

2

1+2x2

=

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

，
∵x₁＜x₂，
∴2x2-2x1＞0，(1+2x1)(1+2x2)＞0，
∴

2(2x2-2x1)

(1+2x1)(1+2x2)

＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＞0，
及f（x₁）＞f（x₂），
∴函数f（x）在R上为减函数．
（3）由（1）（2）函数为奇函数且为减函数，
∴不等式f（t²-2t）+f（-2t²+k）＜0恒成立，等价为
f（t²-2t）＜-f（-2t²+k）=f（2t²-k），
即t²-2t＞2t²-k对t∈[-2，2]，
及k＞t²+2t对t∈[-2，2]恒成立，
∵y=t²+2t=（t+1）²-1在t∈[-2，2]上的最大值为8，
∴k＞8，
即k的取值范围是k＞8．

点评：本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用函数的奇偶性和单调性将不等式转化为参数恒成立是解决本题的关键，综合性较强．