Question

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥底面ABCD，PA=AB=

6

，点E是棱PB的中点．
（Ⅰ）求证：直线AD∥平面PBC；
（Ⅱ） 求直线AD与平面PBC的距离；
（Ⅲ）若AD=3，求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明直线AD∥平面PBC，只需证明AD∥BC即可；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求直线AD与平面PBC的距离，转化为点A到平面PBC的距离；
（Ⅲ）若AD=3，求出平面AEC、平面DEC的法向量，利用向量的夹角公式，即可求二面角A-EC-D的平面角的余弦值．

解答： （Ⅰ）证明：在矩形ABCD中，AD∥BC，
又AD?平面PBC，BC?平面PBC，
所以AD∥平面PBC
（Ⅱ）解：如图，以A为坐标原点，射线AB、AD、AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立空间直角坐标系A-xyz．

设D（0，a，0），则B （

6

，0，0），C（

6

，a，0），P（0，0，

6

），E（

6

2

，0，

6

2

）．
因此

AE

=（

6

2

，0，

6

2

），

BC

=（0，a，0），

PC

=（

6

，0，-

6

）．
则

AE

•

BC

=0，

AE

•

PC

=0，
因为BC∩PC=C，
所以AE⊥平面PBC．
又由AD∥BC，知AD∥平面PBC，
故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离，即为|

AE

|=

3

．
（Ⅲ）解：因为|

AD

|=

3

，所以D（0，

3

，0），C（

6

，

3

，0）．
设平面AEC的法向量

n1

=（x₁，y₁，z₁），则

n1

•

AC

=0，

n1

•

AE

=0．
又

AC

=（

6

，

3

，0），

AE

=（

6

2

，0，

6

2

），故

6 x1+ 3 y1=0 6 2 x1+ 6 2 z1=0

所以y₁=-

2

x₁，z₁=-x₁．
可取x₁=-

2

，则

n1

=（-

2

，2，

2

）．
设平面DEC的法向量

n2

=（x₂，y₂，z₂），则

n2

•

DC

=0，

n2

•

DE

=0，
又

DC

=（

6

，0，0），

DE

=（

6

2

，-

3

，

6

2

），故

x2=0 6 2 x2- 3 y2+ 6 2 z2=0

所以x₂=0，z₂=

2

y₂，可取y₂=1，则

n2

=（0，1，

2

）．
故cos＜

n1

，

n2

＞=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

6

3

．

点评：本题考查线面平行的判定，考查线面角，考查面面角，考查向量法的运用，考查学生分析解决问题的能力，考查学生的计算能力，属于中档题．