Question

已知曲线C满足到直线x=-

p

2

的距离与到点A（

p

2

，0）的最小距离相等，p＞0，直线l交此曲线于不同的两个点A（x₁，y₁）B（x₂，y₂）．
（1）求曲线C的轨迹方程；
（2）当直线L过M（-p，0），证y₁y₂是定值；
（3）当y₁y₂=-p时直线l是否过定点，若不过，请说明理由．

Answer 1

考点：轨迹方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由曲线C满足到直线x=-

p

2

的距离与到点A（

p

2

，0）的最小距离相等，p＞0，可得曲线C是以点A（

p

2

，0）为焦点的抛物线，从而可得方程；
（2）设出直线的方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系即可得出；
（3）分直线l的斜率存在与不存在两种情况讨论：把直线的斜截式方程与抛物线的方程联立，利用根与系数的关系即可得出

解答： （1）解：∵曲线C满足到直线x=-

p

2

的距离与到点A（

p

2

，0）的最小距离相等，p＞0，
∴曲线C是以点A（

p

2

，0）为焦点的抛物线，
∴曲线C的轨迹方程为y²=2px；
（2）证明：设L：x=my-p，代入抛物线可得y²-2pmy+2p²=0，
∴y₁y₂=2p²；
（3）解：当直线l的斜率存在时，设l：y=kx+b，其中k≠0（若k=0时不合题意）．
代入抛物线可得ky²-2py+2pb=0．
∴y₁y₂=

2pb

k

=-p，从而b=-

k

2

．
从而y=kx-

k

2

，即过定点(

1

2

，0)．
当直线l的斜率不存在，设l：x=x₀，代入y²=2px得y²=2px₀，∴y=±

2px0

，
∴y₁y₂=-2px₀=-p，
∴x₀=

1

2

，过定点(

1

2

，0)．
综上所述，当y₁y₂=-p时，直线l过定点(

1

2

，0)．

点评：本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，熟练掌握直线与抛物线相交问题通过联立方程转化为一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．