Question

在如图所示的几何体中，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠ABC=60°，AB=2CB=2．在梯形ACEF中，EF∥AC，且AC=2EF，EC⊥平面ABCD．
（Ⅰ）求证：BC⊥AF；
（Ⅱ）若二面角D-AF-C为45°，求CE的长．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明BC⊥AC，BC⊥EC，AC∩EC=C，可得BC⊥平面ACEF，从而BC⊥AF；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面DAF的法向量，平面AFC的法向量，根据二面角D-AF-C为45°，利用向量的夹角公式，即可求CE的长．

解答： （Ⅰ）证明：在△ABC中，AC²=AB²+BC²-2AB•BCcos60°=3
所以AB²=AC²+BC²，
由勾股定理知∠ACB=90°所以BC⊥AC．  …（2分）
又因为EC⊥平面ABCD，BC?平面ABCD
所以BC⊥EC．                                   …（4分）
又因为AC∩EC=C，
所以BC⊥平面ACEF，
又AF?平面ACEF
所以BC⊥AF．                                   …（6分）
（Ⅱ）解：因为EC⊥平面ABCD，又由（Ⅰ）知BC⊥AC，以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 C-xyz．
设CE=h，则C（0，0，0），A(

3

，0，0)，F(

3

2

，0，h)，D(

3

2

，-

1

2

，0)，
所以

AD

=(-

3

2

，-

1

2

，0)，

AF

=(-

3

2

，0，h)．…（8分）
设平面DAF的法向量为

n1

=（x，y，z），则

- 3 2 x- 1 2 y=0 - 3 2 x+hz=0.

令x=

3

．所以

n1

=（

3

，-3，

3

2h

）．…（9分）
又平面AFC的法向量

n2

=（0，1，0）…（10分）
所以cos45°=

| n1 • n2 |

| n1 || n2 |

=

2

2

，解得h=

6

4

．  …（11分）
所以CE的长为

6

4

．              …（12分）

点评：本题考查线面垂直的判定与性质，考查面面角，考查向量知识的运用，正确求出平面的法向量是关键．