Question

已知△ABC的三个内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，面积为S，且满足：S•（tan

C

2

+cot

C

2

）=18．
（1）求ab的值；
（2）若c=3

2

，试确定∠C的范围．

Answer 1

考点：余弦定理,同角三角函数基本关系的运用

专题：解三角形

分析：（1）化简tan

C

2

+cot

C

2

 为

2

sinC

，再由S•（tan

C

2

+cot

C

2

）=

1

2

absinC•

2

sinC

=18，求得 ab的值．
（2）根据cosC=

a2+b2-c2

2ab

≥

2ab-c2

2ab

，可得cosC≥

1

2

，从而求得∠C的取值范围．

解答： 解：（1）∵tan

C

2

+cot

C

2

=

1-cosC

sinC

+

1+cosC

sinC

=

2

sinC

，
S•（tan

C

2

+cot

C

2

）=

1

2

absinC•

2

sinC

=18，
∴ab=18．
（2）∵c=3

2

，cosC=

a2+b2-c2

2ab

≥

2ab-c2

2ab

=

36-18

36

=

1

2

，当且仅当a=b=3

2

时，取等号，
即cosC≥

1

2

．
再根据∠C是三角形的一个内角，可得∠C的取值范围为（0°，60°]．

点评：本题主要考查同角三角函数的基本关系、半角公式、余弦定理、基本不等式的应用，属于中档题．