Question

已知函数f（x）=

1+a•2x

2x+1

 是奇函数．
（1）求实数a的值；
（2）判断函数f（x）在R上的单调性，并给出证明过程；
（3）若函数f（x）的图象经过点(-1，-

1

3

)，这对任意x∈R不等式f（x²-2mx+m+1）≤

1

3

恒成立，求实数m的范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数单调性的判断与证明

专题：综合题,函数的性质及应用

分析：（1）利用f（0）=0可求得实数a的值；
（2）f（x）=-1+

2

2x+1

为R上的减函数，利用导数法，易证f′（x）=-

2x+1ln2

(2x+1)2

＜0，从而可使结论得证；
（3）依题意知f（-1）=

1

3

，f（x）=

1-2x

2x+1

为R上的减函数，?x∈R，f（x²-2mx+m+1）≤

1

3

=f（-1）恒成立?x²-2mx+m+2≥0恒成立?△≤0，从而可得实数m的范围．

解答： 解：（1）∵f（x）=

1+a•2x

2x+1

 是R上的奇函数，
∴f（0）=

1+a

2

=0，
∴a=-1；
（2）由（1）知a=-1，
∴f（x）=

1-2x

2x+1

=-1+

2

2x+1

，
∴f（x）=-1+

2

2x+1

为R上的减函数；
证明如下：∵f（x）=-1+

2

2x+1

，
∴f′（x）=-

2x+1ln2

(2x+1)2

＜0，
∴f（x）=

1-2x

2x+1

为R上的减函数；
（3）∵函数f（x）的图象经过点（1，-

1

3

），即f（1）=-

1

3

，
∴f（-1）=-f（1）=

1

3

，
∴?x∈R，f（x²-2mx+m+1）≤

1

3

=f（-1）恒成立，由（2）知，f（x）=-1+

2

2x+1

为R上的减函数，
∴x²-2mx+m+1≥-1恒成立，即x²-2mx+m+2≥0恒成立，
∴△=（-2m）²-4（m+2）≤0，
解得：-1≤m≤2．
∴实数m的范围为：[-1，2]．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查函数的单调性的判断与证明，考查等价转化思想与方程思想的综合运用，考查运算求解能力，属于难题．