Question

如图，棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的底面ABCD为菱形，四边形AA₁C₁C也为菱形且∠A₁AC=∠DAB=60°，平面AA₁C₁C⊥平面ABCD．
（Ⅰ）证明：BD⊥AA₁；
（Ⅱ）证明：平面AB₁C∥平面DA₁C₁；
（Ⅲ）在棱CC₁上是否存在点P，使得平面PDA₁和平面DA₁C₁所成锐二面角的余弦值为

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？若存在，求出点P的位置；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,平面与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）连接BD，由已知条件推导出BD⊥平面AA₁C₁C，由此能证明BD⊥AA₁．
（Ⅱ）由已知条件推导出AB₁∥平面DA₁C₁，B₁C∥平面DA₁C₁，由此能够证明平面AB₁C∥平面DA₁C₁．
（Ⅲ）设AC交BD于O，连接A₁O，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设OB=1利用向量法能求出P为CC₁的中点时，平面PDA₁和平面DA₁C₁所成的锐二面角的余弦值为

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．

解答： （Ⅰ）证明：连接BD，∵平面ABCD为菱形，∴BD⊥AC，
∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，且交线为AC，
∴BD⊥平面AA₁C₁C，
又∵A₁A?平面AA₁C₁C，
∴BD⊥AA₁．…（4分）
（Ⅱ）证明：由棱柱的性质知B₁C₁∥AD，且B₁C₁=AD
∴四边形AB₁C₁D为平行四边形，
∴AB₁∥DC₁，∵AB₁在平面DA₁C₁外，DC₁?平面DA₁C₁
∴AB₁∥平面DA₁C₁，…（5分）
同理B₁C∥平面DA₁C₁，…（6分）
∵AB₁∩B₁C=B₁，∴平面AB₁C∥平面DA₁C₁．…（7分）
（Ⅲ）解：设AC交BD于O，连接A₁O，
∵菱形AA₁C₁C，且∠A₁AC=60°，
∴△A₁AC是等边三角形，且O为AC中点，∴A₁O⊥AC，
又∵平面AA₁C₁C⊥平面ABCD，平面AA₁C₁C∩平面ABCD=AC，
∴A₁O⊥平面ABCD，又BD⊥AC，
如图，以O为坐标原点建立空间直角坐标系，设OB=1，…（8分）
则OA=

3

，AA1=2

3

，A1O=3，
∴B（1，0，0），D（-1，0，0），A（0，-

3

，0），
C（0，

3

，0），A₁（0，0，3），
∴

A1C1

=

AC

=(0，2

3

，0)，

DA1

=(1，0，3)，

CC1

=(0，

3

，3)，
设

CP

=λ

CC1

=(0，

3

λ，3λ)，
则

DP

=

DC

+

CP

=(1，

3

λ+

3

，3λ)，
设平面DA₁C₁和平面PDA₁的法向量分别为：

m

=(x1，y1，z1)，

n

=(x2，y2，z2)，
∵

m

•

A1C1

=2

3

y1=0，

m

•

DA1

=x1+3z1=0，
∴

m

=(-3，0，1)，

n • DA1 =x2+3z2=0， n • DP =x2+( 3 λ+ 3 )y2+3λz2=0

∴

n

=(-3，

3 - 3 λ

1+λ

，1)，…（10分）
∵|cos＜

m

，

n

＞|=|

9+1

10 • 10+ 3(1-λ)2 (1+λ)2

|=

30

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，
∴2λ²-5λ+2=0，解得λ=

1

2

或λ=2（舍去），…（11分）
当P为CC₁的中点时，平面PDA₁和平面DA₁C₁所成的锐二面角的余弦值为

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．…（12分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查平面与平面平行的证明，考查满足条件的点的位置的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．