Question

如图，正三棱柱ABC-A′B′C′中，D是BC的中点，AA′=AB=2
（1）求证：A′C∥平面AB′D；
（2）求二面角D一AB′一B的余弦值．

Answer 1

考点：与二面角有关的立体几何综合题,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）连结A′B，交AB′于O，连结OD，在△A′BC中，OD是中位线，由此能证明A′C∥平面AB′D．
（2）过D作FD⊥AB于F，作FE⊥AB′于E，连结DE，则∠DEF为二面角D-AB′-B的平面角，由此能求出二面角D一AB′一B的余弦值．

解答： （1）证明：连结A′B，交AB′于O，连结OD，
在△A′BC中，∵OD是中位线，
∴OD∥A′C，
∵OD?平面AB′D，A′C不包含于平面AB′D，
∴A′C∥平面AB′D．
（2）解：正三棱柱ABC-A′B′C′中，
面BB′A′A⊥面ABC，过D作FD⊥AB于F，作FE⊥AB′于E，
连结DE，则∠DEF为二面角D-AB′-B的平面角，
∵D是BC的中点，AA′=AB=2，
∴AD=

4-1

=

3

，DB′=

4+1

=

5

，AB′=

4+4

=2

2

，
∴DE=

AD•DB′

AB′

=

3 • 5

2 2

=

30

4

，
EF=

3BO

4

=

3 2

4

，
∴cos∠DEF=

EF

ED

=

3 2 4

30 4

=

15

5

，
∴二面角D一AB′一B的余弦值为

15

5

．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养．