Question

如图，正方形ABCD与梯形CDEF所在的平面互相垂直，CD⊥DE，CF∥DE，CD=CF=2，DE=4，G为AE的中点．
（Ⅰ）求证：FG∥平面ABCD；
（Ⅱ）求证：平面FAD⊥平面FAE；
（Ⅲ）求平面FAE与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,与二面角有关的立体几何综合题

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（I）取DA中点N，连接GN，CN，由三角形中位线定理，结合已知中CF∥DE，CF=2，DE=4，易得四边形GFCN为平行四边形，所以FG∥CN，再由线面平面的判定定理，可得FG∥平面ABCD；
（II）由已知中正方形ABCD与梯形CDEF所在的平面互相垂直，易得AD⊥平面CDEF，进而AD⊥EF，再证明EF⊥DF，由线面垂直的判定定理可得EF⊥平面ADF，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面FAD⊥平面FAE；
（III）以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面FAE与平面ABCD的法向量，代入向量夹角公式，即可求出平面FAE与平面ABCD所成锐二面角的余弦值．

解答： （I）证明：取DA中点N，连接GN，CN
在△EAB中，G、N分别为EA，AD的中点，
∴GN∥EB，且GN=

1

2

EB．
由已知CF∥DE，CF=2，DE=4，
∴CF∥EB，且CF=

1

2

EB．
∴CF∥GN且CF=GN，
∴四边形GFCN为平行四边形，
∴FG∥CN，
∵CN?平面ABCD，且FG?平面ABCD，
∴FG∥平面ABCD；
（II）证明：在正方形ADEF中，AD⊥CD，
又∵平面CDEF⊥平面ABCD，且平面CDEF∩平面ABCD=CD，
∴AD⊥平面CDEF，
∴AD⊥EF．
在直角梯形CDEF中，CD=CF=2，DE=4，可得DF=2

2

在△DEF中，EF=DF=2

2

，DE=4，
∴EF⊥DF．
∵AD∩DF=D
∴EF⊥平面ADF，
∵EF?平面AEF，
∴平面FAD⊥平面FAE；
（Ⅲ）解：以D为原点，DA，DC，DE所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系．
则平面ABCD的一个法向量为

m

=（0，0，4）．
设平面FAE的一个法向量为

n

=（x，y，z），则
∵

DF

=（0，2，2），

DA

=（2，0，0），
∴

2y+2z=0 2x=0

，
∴可取

n

=（0，1，-1）．
设平面BEC与平面ADEF所成锐二面角为θ，
则cosθ=|

m • n

| m || n |

|=

2

2

，
∴平面FAE与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为

2

2

．

点评：本题考查二面角的平面角及求法，直线与平面平行的判定，平面与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面不同位置关系（平行和垂直）的判定定理、性质定理、定义及几何特征是解答本题的关键．