Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F1(-

2

，0)，短轴的端点到右焦点的距离为

3

．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若直线l与圆4x²+4y²=3相切，且与椭圆C交于A，B两点，求|AB|的最大值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）利用椭圆的性质和b=

a2-c2

即可得出；
（2）当斜率不为0时，设切线的方程为x=my+n．利用点到直线的距离公式可得

|n|

1+m2

=

3

2

，再把切线方程与椭圆的方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得|AB|．当斜率为0时，直接求出，再比较即可．

解答： 解：（1）∵椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦点为F1(-

2

，0)，短轴的端点到右焦点的距离为

3

，
∴c=

2

，a=

3

，
∴b=

a2-c2

=1，
∴椭圆C的方程为

x2

3

+y2=1；
（2）①当斜率不为0时，设切线的方程为x=my+n．
则

|n|

1+m2

=

3

2

，化为4n²=3+3m²．
联立

x=my+n x2+3y2=1

，化为（3+m²）y²+2mny+n²-3=0．
∴y1+y2=-

2mn

3+m2

，y1y2=

n2-3

3+m2

．
∴|AB|=

(1+m2)[(y1+y2)2-4y1y2]

=

(1+m2)[ 4m2n2 (3+m2)2 - 4(n2-3) 3+m2 ]

=

2 (1+m2)(9+3m2-3n2)

3+m2

，
把n2=

3+3m2

4

代入上式可得|AB|=

3(1+ 4 m2+ 9 m2 +6 )

≤

3(1+ 4 6+6 )

=2，当且仅当m²=3时取等号．
②当斜率为0时，不妨取xA=

3

2

，代入椭圆的方程可得

1

3

×(

3

2

)2+

y

2 A

=1，解得y_A=±

3

2

|AB|=

3

＜2．
综上①②可知：|AB|的最大值是2．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立得到的根与系数的关系、弦长公式等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论思想方法、推理能力和计算能力，属于难题．