Question

不等式（k-1）x²-2（k-1）x+3（k+1）＞0对于任何x∈R都成立，则k∈

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：不等式的解法及应用

分析：分二次项系数为0和不为0讨论，当二次项系数不为0时，只需二次项系数大于0，且判别式小于0联立不等式组求解k的取值范围即可．

解答： 解：当k=1时，不等式化为3×（1+1）=6＞0恒成立；
当k≠1时，要使不等式（k-1）x²-2（k-1）x+3（k+1）＞0对于任何x∈R都成立，
则

k-1＞0 [-2(k-1)]2-12(k-1)(k+1)＜0

，即

k-1＞0 7k2-2k-5＞0

．
解得：k＞1．
综上，k的范围是[1，+∞）．
故答案为：[1，+∞）．

点评：本题考查恒成立问题，考查了分类讨论的数学思想方法，解答的关键是把不等式恒成立转化为不等式对应的函数的图象与x轴没有交点，是中档题．