Question

已知函数f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，且f（1）=0，则当x∈（0，

1

2

），不等式f（x）+2＜log_ax恒成立时，实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：根据抽象函数的定义，利用赋值法求出函数f（x）的表达式，然后根据不等式恒成立，结合对数函数的性质即可得到结论．

解答： 解：∵f（x）对于一切实数x，y均有f（x+y）-f（y）=x（x+2y+1）成立，
∴令y=0，x=1代入已知式子f（x+y）-f（y）=（x+2y+1）x，
得f（1）-f（0）=2，
∵f（1）=0，
∴f（0）=-2；
令y=0得f（x）+2=（x+1）x，
∴f（x）=x²+x-2．
当x∈（0，

1

2

），不等式f（x）+2＜log_ax恒成立时，
即x²+x＜log_ax恒成立，
设g（x）=x²+x，在（0，

1

2

）上是增函数，
∴0＜g（x）＜

3

4

，
∴要使x²+x＜log_ax恒成立，
则log_ax≥

3

4

在x∈（0，

1

2

）恒成立，
若a＞1时，不成立．
若0＜a＜1，则有log_a

1

2

=

3

4

时，a=

3 4

4

，
∴要使log_ax≥

3

4

在x∈（0，

1

2

）恒成立，
则

3 4

4

≤a＜1，
故答案为：[

3 4

4

，1）

点评：本题主要考查抽象函数的应用，利用赋值法是解决抽象函数的基本方法，将不等式恒成立转化为求函数最值问题是解决此类问题的基本方法．