Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）上一点C，过双曲线中心的直线交双曲线于A，B两点，记直线AC，BC的斜率分别为k₁，k₂，当

2

k1k2

+ln|k₁|+ln|k₂|最小时，双曲线离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、

  2

  +1
• D、2

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），由双曲线的对称性得B（-x₁，-y₁），从而得到k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y22-y12

x22-x12

，利用点差法能推导出

2

k1k2

+ln|k₁|+ln|k₂|=

2

k1k2

+ln(k1k2)，再由构造法利用导数性质能求出双曲线的离心率．

解答： 解：设A（x₁，y₁），C（x₂，y₂），
由题意知点A，B为过原点的直线与双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的交点，
∴由双曲线的对称性得A，B关于原点对称，
∴B（-x₁，-y₁），k1=

y2-y1

x2-x1

，k2=

y2+y1

x2+x1

，
∴k₁k₂=

y2-y1

x2-x1

•

y2+y1

x2+x1

=

y22-y12

x22-x12

，
∵点A，C都在双曲线上，
∴

x12

a2

-

y12

b2

=1，

x22

a2

-

y22

b2

=1，
两式相减，得：

x12-x22

a2

-

y12-y22

b2

=0，
∴k₁k₂=

y12-y22

x12-x22

=

b2

a2

＞0，
∴

2

k1k2

+ln|k₁|+ln|k₂|=

2

k1k2

+ln(k1k2)，
对于函数y=

2

x

+lnx，(x＞0)，
由y′=-

2

x2

+

1

x

=0，得x=0（舍）或x=2，
x＞2时，y′=-

2

x2

+

1

x

＞0，
0＜x＜2时，y′=-

2

x2

+

1

x

＜0，
∴当x=2时，函数y=

2

x

+lnx（x＞0）取得最小值，
∴当

2

k1k2

+ln|k₁|+ln|k₂|最小时，k1k2=

b2

a2

=2，
∴e=

1+ b2 a2

=

3

．
故选：B．

点评：本题考查双曲线的离心率的求法，涉及到导数、最值、双曲线、离心率等知识点，综合性强，难度大，解题时要注意构造法的合理运用．