Question

（文科）如图，正四面体P-ABC中，M为线段BC的中点，求异面直线PM与AC所成的角（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

考点：异面直线及其所成的角

专题：转化思想,空间位置关系与距离,空间角

分析：取线段AB的中点N，连接MN、PN，M、N分别为线段BC、AB的中点，判断∠PMN为异面直线PM与AC所成的角（或其补角），通过解△PMN，求出结果即可．

解答： 解：取线段AB的中点N，连接MN、PN，M、N分别为线段BC、AB的中点
则MN∥AC，
所以∠PMN为异面直线PM与AC所成的角（或其补角）   5分
设正四面体P-ABC的棱长为a
等边三角形PBC中，M为BC的中点，PM=

PB2-BM2

=

3

2

a
等边三角形PBA中，N为BA的中点，PN=

PB2-BN2

=

3

2

aMN=

1

2

AC=

1

2

a     8分
三角形PMN中，cos∠PMN=

PM2+MN2-PN2

2PM•MN

=

( 3 2 a)2+( a 2 )2-( 3 2 a)2

2( 3 2 a)( a 2 )

=

3

6

   10分
得∠PMN=arccos

3

6

，
故异面直线PM与AC所成的角为arccos

3

6

    12分．

点评：本题考查求异面直线角，用好异面直线所成角的对应是解题的关键，考查空间想象能力以及计算能力．