Question

已知不等式x²-2ax+2＞0在x∈（-1，2）上恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：二次函数的性质,函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用

分析：构造函数f（x），将不等式转化为求函数f（x）的最小值，利用二次函数对称轴与区间之间的关系即可求出结论．

解答： 解：设f（x）=x²-2ax+2，
判别式△=4a²-4×2=4a²-8，对称轴x=-

-2a

2

=a，
∵f（0）=2＞0，
∴若判别式△＜0，即-

2

＜a＜

2

．
若对称轴x=a＞0，则满足条件

a＞0 △≥0 f(2)＞0

，
即

a＞0 a≥ 2 或a≤- 2 a＜ 3 2

，
∴

2

≤a＜

3

2

．
若对称轴x=a＜0，则满足条件

a＜0 △≥0 f(-1)＞0

，
即

a＜0 a≥ 2 或a≤- 2 1+2a+2＞0

，
∴

a＜0 a≥ 2 或a≤- 2 a＞- 3 2

∴-

3

2

＜a≤-

2

，
综上：-

3

2

＜a＜

3

2

，
即实数a的取值范围是：-

3

2

＜a＜

3

2

．

点评：本题主要考查一元二次不等式恒成立问题，将不等式转化为函数是解决本题的关键．注意要分类讨论．