Question

如图，在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，点E为AB的中点．
（Ⅰ）证明：A₁D⊥D₁E； 
（Ⅱ）求二面角D-CE-D₁的平面角的正切值．

Answer 1

考点：二面角的平面角及求法,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）由已知条件，推导出A₁D⊥AD₁，A₁D⊥AE，由此能够证明AD₁⊥面AD₁E，从而得到A₁D⊥D₁E．
（Ⅱ）连结DE，由已知条件推导出∠DFD₁是二面角D-CE-D₁的平面角，由此能求出二面角D-CE-D₁的平面角的正切值．

解答： （Ⅰ）证明：在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AD=AA₁=1，∴A₁D⊥AD₁，
又在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，
∵AB⊥侧面ADD₁A₁，A₁D?侧面ADD₁A₁，
∴A₁D⊥AB，即A₁D⊥AE，
又∵AD₁∩AE=A，AD₁，AE?面AD₁E，
∴AD₁⊥面AD₁E，∴A₁D⊥D₁E．（6分）
（Ⅱ）解：连结DE，在矩形ABCD中，
∵AB=2，AD=1，且E为AB中点，∴DE⊥CE，且DE=

2

，
又∵DD₁⊥底面ABCD，CE?底面ABCD，
∴DD₁⊥CE，而DD₁∩DE=D，DD₁，DE?面DD₁E，
∴CE⊥面DD₁E，D₁E?面DD₁E，∴D₁E⊥CE，
∴∠DFD₁是二面角D-CE-D₁的平面角，
在Rt△DD₁E中，tan∠DED₁=

DD1

DE

=

1

2

=

2

2

，
∴二面角D-CE-D₁的平面角的正切值为

2

2

．（6分）

点评：本题考查异面直线垂直的证明，考查二面角的正切值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养，合理地化空间问题为平面问题．