Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，PB⊥BC，PD⊥DC，且PC=

3

．
（Ⅰ）求证：PA⊥平面ABCD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的余弦值；
（Ⅲ）棱PD上是否存在一点E，使直线EC与平面BCD所成的角是30°？若存在，求PE的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：用空间向量求平面间的夹角,直线与平面平行的性质,与二面角有关的立体几何综合题

专题：空间位置关系与距离,空间向量及应用

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出CD⊥PA，BC⊥PA，由此能够证明PA⊥平面ABCD．
（Ⅱ）连接AC，由（Ⅰ）和题设条件知PA⊥平面ABCD．分别以AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B-PD-C的余弦值．
（Ⅲ）棱PD上存在点E满足条件，设

PE

=λ

PD

=(λ，0，-λ)，λ∈[0，1]．由平面BCD的一个法向量为

AP

=(0，0，1)．能求出棱PD上存在点E，使直线EC与平面BCD所成的角是30°，并能求出此时PE的长．

解答： （本小题满分11分）
（Ⅰ）证明：在正方形ABCD中，CD⊥AD．
∵CD⊥PD，AD∩PD=D，∴CD⊥平面PAD．…（1分）
∵PA?平面PAD，∴CD⊥PA．…（2分）
同理，BC⊥PA．
∵BC∩CD=C，
∴PA⊥平面ABCD．…（3分）
（Ⅱ）解：连接AC，由（Ⅰ）知PA⊥平面ABCD．
∵AC?平面ABCD，PA⊥AC．…（4分）
∵PC=

3

，AC=

2

，∴PA=1．
分别以AD，AB，AP所在的直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，如图所示．
由题意可得：B（0，1，0），D（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1）．
∴

DC

=(0，1，0)，

DP

=(-1，0，1)，

BD

=(1，-1，0)，

BP

=(0，-1，1)．
设平面PDC的一个法向量

n

=（x，y，z），
则

n • DC =0 n • DP =0

，∴

y=0，      -x+z=0

，
令x=1，得z=1，∴

n

=（1，0，1）．
设平面PDB的一个法向量

m

=（x₁，y₁，z₁），
则

m • DP =0 m • BP =0

，∴

-x1-+z1=0 -y1+z1=0

，
∴

m

=（1，1，1）．        …（6分）
∴cos＜

m

，

n

＞=

1+0+1

2 • 3

=

6

3

．
∴二面角B-PD-C的余弦值为

6

3

．…（8分）
（Ⅲ）存在．理由如下：
若棱PD上存在点E满足条件，设

PE

=λ

PD

=(λ，0，-λ)，λ∈[0，1]．
∴

EC

=

PC

-

PE

=(1，1，-1)-(λ，0，-λ)=(1-λ，1，λ-1)．…（9分）
∵平面BCD的一个法向量为

AP

=(0，0，1)．
∴|cos＜

EC

，

AP

＞|=|

EC • AP

| EC || AP |

|=|

λ-1

2(1-λ)2+1

|．
令 |

λ-1

2(1-λ)2+1

|=sin30°=

1

2

，解得：λ=1±

2

2

．
经检验λ=1-

2

2

∈[0，1]．
∴棱PD上存在点E，使直线EC与平面BCD所成的角是30°，
此时PE的长为

2

-1．…（11分）

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角余弦值的求法，考查满足条件的点是否存在的证明，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．